自然常数e原来是这么来的

时间:2017-01-05
简介:生活频道|数学中有许多重要的常数,例如圆周率π和虚数单位i(等于根号负一)。但数学中还有一个同样重要的常数,那就是自然常数e,尽管没有圆周率那么为人所熟知。这个常数经常出
数学 中有许多重要的常数,例如圆周率π和虚数单位i(等于根号负一)。但数学中还有一个同样重要的常数,那就是自然常数e,尽管没有圆周率那么为人所熟知。

这个常数经常出现在数学和物理学之中,但它从哪里来?它究竟是什么意思?

自然常数e原来是这么来的(图1)

在18世纪初,数学大师莱昂哈德?欧拉(Leonard Euler)发现了这个自然常数e(又称欧拉数)。

当时,欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)在半个世纪前提出的问题。

伯努利的问题与复利有关。假设你在银行里存了一笔钱,银行每年以100%的利率兑换这笔钱。一年后,你会得到(1+100%)^1=2倍的收益。

自然常数e原来是这么来的(图2)

现在假设银行每六个月结算一次利息,但只能提供利率的一半,即50%。在这种情况下,一年后的收益为(1+50%)^2=2.25倍。

而假设银行每月提供8.3%(100%的1/12)复利息,或每周1.9%(100%的1/52)复利息。在这种情况下,一年后你会赚取投资的(1+1/12)^12 = 2.61倍和(1 1/52)^52 = 2.69倍。

根据这个规律,可以得到一条通式。如果假设n为利息复利的次数,那么利率就是其倒数1/n。一年后的收益公式为(1+1/n)^n。例如,如果利息每年复利5次,那收益则为初始投资的(1+1/5)^5 = 2.49倍。

那么,如果n变得很大,会怎样?如果n变得无限大,那(1+1/n)^n是否也会变得无限大?这就是伯努利试图回答的问题,但直到50年后才由欧拉最终获得结果。

原来,当n趋于无穷大时,(1+1/n)^n并非也变得无穷大,而是等于2.718281828459……这是一个类似于圆周率的无限不循环小数(即无理数),用字母e表示,被称为自然常数。

自然常数e原来是这么来的(图3)

当然,e不是一个随意数字。事实上,它是数学中最有用的常数之一。如果绘制方程y = e^x,就会发现,对于曲线上任何点的斜率也是e^x,而从负无穷大到x的曲线下方面积也是e^x。e是唯一使y = n^x这个方程有如此奇特性质的数字。

在微积分中,可以想象e也是一个非常重要的数字。同时,自然常数e也是物理学中的一个重要数字,它通常出现在有关波(如光波、声波和量子波)的方程之中。

此外,关于e还有一个非常著名的公式,即欧拉恒等式:e^(iπ) 1 = 0,这个完美的公式把数学中最重要的数字e、π、i、1、0都联系在一起了。

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